Ley del Seno Y Coseno

Introducción
Dentro del estudio de las matemáticas, se puede destacar el estudio de los vectores, que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.
Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número.
Las magnitudes vectoriales son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad, una dirección y un sentido.
En este informe se analizara la ley de senos y cosenos para vectores.
Existen muchas relaciones geométricas que se demuestran en forma muy simple utilizando las propiedades de los vectores
Desarrollo:
Ley del seno y coseno.
La ley de senos para resolución de triángulos, tiene un caso ambigüo; donde dos triángulos distintos pueden ser construidos (Existen dos soluciones posibles para el triángulo).
Dado un triángulo general ABC, las siguientes condiciones se necesitan cumplir para tener el caso ambigüo:
a) La única información acerca de el triángulo es el ángulo A y dos de sus lados a, y b; para los cuales el ángulo A no esta incluido, en otras palabras el ángulo es opuesto a uno de los dos lados.
b) El ángulo A es agudo, es decir menos de 90° y más de 0°.
c) El lado a (opuesto a el ángulo A) es más corto que el lado b, o a < b.
d) El lado a (opuesto al ángulo A) es más largo que la altitud de un triángulo rectángulo de altura a, e hipotenusa b, o a > b sin A.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.
En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a
Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b
Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2ac * cos (B)
c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C)
Ley de senos
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de los Senos dice así: Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y α, β y γ (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la α está en el ángulo opuesto de A. La β está en el ángulo opuesto de B. Y la γ está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver. En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno. Supongamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: Llamemos β al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; α al ángulo de 43° y A al lado de 5.Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A = 5B = ?C =? α= 43°β= 27°γ = ? El ángulo γ es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
γ = 180° -α–β
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apuntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
γ = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110° γ = 110° Ya tenemos entonces los tres ángulos α β
y γ .
Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos: Sustituyendo queda: Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos: Haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y calculamos ésta expresión:3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): hacemos las operaciones y queda: 6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo. Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo: o escrito ya sin el término de en medio: igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones verás que te da C = 6.88925 igual que antes.
Conclusión:
El teorema del coseno es un teorema de geometría de los triángulos comúnmente utilizado en trigonometría. Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos: relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
Sea un triángulo ABC, en el cual utilizamos las notaciones habituales expuestas en la figura 1: por una parte α, β y γ para los ángulos y, por otra parte, a, b y c para los lados respectivamente opuestos a estos ángulos.
Teorema del seno
Dado un triángulo cualquiera, trazamos una altura h que dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos, en cada uno de ellos se tiene que:
h=b·senA
h=a·senB
Igualando b·senA = a·senB
Razonando igual con los ángulos B y C, se tiene que b·senC=c·senB
En el caso de que el triángulo sea obtusángulo, queda una altura fuera del triángulo y se llega a la misma Conclusión.
h=b.senC
h=c·sen(180º-B) => h=c·senB
(al ser B y 180º-B suplementarios)
BIBLIOGRAFIAS:
http://tutormatematicas.com/GEO/Trigonometria_ley_de_senos_y_cosenos.html
http://docente.ucol.mx/narahita/leyes/sen2.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno
http://es.scribd.com/doc/198857/Ley-del-seno-y-ley-del-coseno
http://www.buenastareas.com/ensayos/Ley-Del-Seno-y-Del-Coseno/1127649.html http://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080217121236AA2wmpP
UAR
Nombre del Profesor: Javier Cruz Agustín
Nombre del Alumno: Julia Nelly Medina Hernández
Tetramestre III. 3 A Nocturno
Matemáticas